Objectifs :

En toute généralité, le filtrage consiste à estimer de façon récursive un état caché au vu d'observations. Le domaine d'application principal est la localisation, la navigation et la poursuite de mobiles, dans le domaine militaire, mais aussi en robotique mobile, en vision par ordinateur, en communications sans-fil (GSM en extérieur, WiFi en indoor), où il s'agit de combiner : un modèle a priori de déplacement du mobile, des mesures issues de capteurs, et éventuellement une base de mesures de références, disponibles par exemples sous la forme d'une carte numérique (modèle numérique de terrain, carte de couverture, etc.).

Dans le cas particulier des systèmes linéaires gaussiens, le problème de filtrage possède une solution explicite, appelée filtre de Kalman. Dans le cas plus général des modèles de Markov cachés, des méthodes de simulation Monte Carlo très efficaces sont apparues récemment, sous le nom de filtres particulaires. De manière intuitive, chaque particule représente ici un état caché possible, explore l'espace d'état en suivant le modèle a priori de déplacement, et est répliquée ou au contraire éliminée à la génération suivante au vu de sa cohérence avec l'observation courante, quantifiée par la fonction de vraisemblance. Ce mécanisme de mutation / sélection a pour effet de concentrer automatiquement les particules (i.e. la puissance de calcul disponible) dans les régions d'intérêt de l'espace d'état.

L'objectif de ce cours est

• de présenter différents algorithmes de filtrage (filtre de Kalman, filtre bayésien et approximation particulaire),
• et de les mettre en œuvre dans le cadre d'une séance de travaux pratiques en R (lien vers The R Project for Statistical Computing).

Programmation détaillée :

1. Introduction au filtrage : estimation récursive d'un état caché au vu d'observations, importance du modèle a priori, estimation bayésienne, borne de Cramér-Rao a posteriori
   Systèmes linéaires gaussiens : filtre de Kalman, lisseur de Kalman, identification par maximum de vraisemblance et algorithme EM
   
2. Extensions aux systèmes non-linéaires : borne de Cramér-Rao a posteriori, filtre de Kalman étendu (linéarisation), filtre de Kalman unscented (quadrature)
   
3. Au-dela des systèmes linéaires gaussiens : systèmes non-linéaires non-gaussiens, modèles de Markov cachés
   Filtre bayésien pour les modèles de Markov cachés : représentation probabiliste vs. équation récurrente, approximation particulaire
   Filtrage particulaire in a nutshell
   Exemples en localisation, navigation et poursuite
   • recalage altimétrique de navigation inertielle
   • suivi visuel par histogramme de couleur
   • poursuite d'une cible furtive
   • navigation en environnement intérieur

• Support de cours 21/22 : polycopié (version du 17 janvier 2016)
  
  • Introduction et filtrage linéaire : planches
  • Extensions du filtrage de Kalman : planches
  • Filtrage bayésien et approximation particulaire : planches
• Travaux pratiques 21/22 :
  • Filtre de Kalman : énoncé, données (archive .zip)

Références bibliographiques :

ouvrages de référence

• Andrew H. Jazwinski, Stochastic Processes and Filtering Theory, Dover Publications, Mineola NY, 2008 (publié à l'origine par Academic Press, New York, 1970).
• Brian D. O. Anderson and John B. Moore, Optimal Filtering, Dover Publications, Mineola NY, 2005 (publié à l'origine par Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1979).
• Olivier Cappé, Éric Moulines and Tobias Ryden, Inference in Hidden Markov Models, Springer Series in Statistics, Springer, New York, 2005.
• James Durbin and Siem Jan Koopman, Time Series Analysis by State Space Methods, (2nd edition), Oxford Statistical Science Series, Oxford University Press, Oxford, 2012.
• Randal Douc, Éric Moulines and David S. Stoffer, Nonlinear Time Series: Theory, Methods and Applications, with R Examples, Texts in Statistical Science, CRC Press, Boca Raton, 2014.
• Robert H. Shumway and David S. Stoffer, Time Series Analysis and its Applications, with R examples (4th edition), Springer Texts in Statistics, Springer, Cham, 2017.

Archives (sujets d'examen) :

• Examen 20/21 : énoncé, corrigé
  Équations équivalentes pour le lisseur bayésien : équations forward-backward, équation backward pour le lisseur bayésien, équation forward pour le lisseur bayésien.
• Examen 19/20 : énoncé, corrigé
  Borne de Cramér-Rao a posteriori et filtre de Kalman.

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