Objectifs :

Programmation détaillée :

1. Introduction aux processus stochastiques : distributions fini-dimensionnelles, théorème d'extension de Kolmogorov, critère de continuité de Kolmogorov
   Mouvement brownien : continuité, variation non-bornée, variation quadratique
   Martingales continues : inégalité maximale de Doob, inégalité de Doob, théorème d'arrêt
2. Intégrale stochastique d'Itô : isométrie d'Itô, extension par continuité, extension par localisation
3. Formule d'Itô, calcul différentiel stochastique
4. Équations différentielles stochastiques (EDS) : existence, unicité, régularité de la solution
   Solution vue comme un processus de Markov, comme un processus de diffusion
   
5. Lien avec les équations aux dérivées partielles (EDP)
   Approximation diffusion
6. Schémas numériques, approximation forte vs. approximation faible, extrapolation de Romberg

• Support de cours 21/22 :
  • Mouvement brownien et martingales continues (CM) : planches
  • Intégrale stochastique d'Itô (CM) : planches
  • Calcul différentiel stochastique et formule d'Itô (CM) : planches
  • Équations différentielles stochastiques (CM) : planches
  • Lien avec les équations aux dérivées partielles, approximation diffusion (CM) : planches
  • Schémas numériques (CM) : planches
• Travaux pratiques et/ou dirigés 21/22 : en principe, les travaux pratiques sont effectués en MATLAB, mais le choix est laissé d'un autre logiciel ou langage de programmation : Python ou R
  • Simulation récursive du mouvement brownien (TP informatique) : énoncé
  • Mouvement brownien et martingales continues (TD) : énoncé, corrigé
  • Quelques applications de la formule d'Itô (TD) : énoncé, corrigé
  • Équations différentielles stochastiques et processus de diffusion (TD) : énoncé, corrigé
  • Approximation diffusion du modèle de Wright-Fisher (TP informatique) : énoncé
  • Extrapolation de Romberg-Richardson pour une diffusion gaussienne stationnaire (TP informatique) : énoncé

• Examen 21/22 : énoncé, corrigé
  Raffinement de la discrétisation d'une trajectoire brownienne. Mouvement brownien sur le cercle. EDS bilinéaire multi-dimensionnelle.

Références bibliographiques :

ouvrages de référence

• Francis Comets et Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusion, Dunod, Paris, 2006.
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Mathématiques et Applications, Springer, Berlin, 2013.
• Emmanuel Gobet, Méthodes de Monte-Carlo et processus stochastiques : du linéaire au non-linéaire, Éditions de l'École Polytechnique, Palaiseau, 2013 [blog].
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1988.
• Leo Breiman, Probability, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1992 (publié à l'origine par Addison-Wesley, Reading MA, 1968).
• Eugene Wong and Bruce Hajek, Stochastic processes in engineering systems, Springer Texts in Electrical Engineering, Springer, New York, 1985 (précédente édition : Eugene Wong, Stochastic processes in information and dynamical systems, McGraw-Hill Series in Systems Science, McGraw-Hill, New York, 1971).
• Avner V. Friedman, Stochastic differential equations and applications, Dover Publications, Mineola NY, 2006 (publié à l'origine en deux volumes par Academic Press, New York, 1975 et 1976).

• Peter E. Kloeden, Eckhard Platen and Henri Schurz, Numerical solution of SDE through computer experiments, Universitext, Springer, Berlin, 1994.

• Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance (3ème édition), Éditions Ellipses, Paris, 2012.
• Tomasz Rolski, Hanspeter Schmidli, Volker Schmidt and Jozef L. Teugels, Stochastic processes for insurance and finance, Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley & Sons, Hoboken NJ, 1999.
• Sylvie Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Mathématiques & Applications, Springer, Berlin, 2016.
• Wai-Yuan Tan, Stochastic models with applications to genetics, cancers, AIDS and other biomedical systems, Series on Concrete and Applicable Mathematics, World Scientific, Singapore, 2002.

notes de cours téléchargeables (format PDF)

• Jean-Christophe Breton, Processus stochastiques, M2 mathématiques, université de Rennes 1
• —, Calcul stochastique, M2 mathématiques, université de Rennes 1
• Benjamin Jourdain, Méthodes de Monte Carlo et processus stochastiques, 3ème année ENPC et M2 mathématiques et applications, université de Marne-la-Vallée

Archives (sujets d'examen) :

• Examen 20/21 : énoncé, corrigé
  Unicité de la solution d'une EDS uni-dimensionnelle avec coefficients non lipschitziens.
• Examen 19/20 : énoncé, corrigé
  Tranformée de Laplace du temps d'atteinte d'une sphère centrée à l'origine, par un mouvement brownien, et par un processus d'Ornstein-Uhlenbeck.
• Examen 18/19 : énoncé, corrigé
  Intégrale stochastique en temps intrinsèque = mouvement brownien. Application à l'estimation séquentielle du maximum de vraisemblance.
• Examen 17/18 : énoncé, corrigé
  Pont brownien : loi du maximum et EDS.
• Examen 16/17 : énoncé, corrigé
  Fonction caractéristique de l'aire de Lévy stochastique.